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Mai
01

Les perversions du cordon de téléphone


Topologie et mécanique conspirent à perturber l’enroulement des rubans, des cordons de téléphone ou des vrilles végétales.

Un ruban initialement de forme hélicoïdale peut être tendu et redressé. Mais lorsqu’on relâche la tension en rapprochant les deux extrémités du ruban, celui-ci s’entortille en créant des enroulements hélicoïdaux de sens opposés. Cette inversion d’hélicité, nommée perversion, se retrouve dans les cordons de téléphone ou les vrilles végétales. (Dessin de Bruno Vacaro)

Après plusieurs coups de fil passés, le cordon hélicoïdal – en forme de tire-bouchon – de votre téléphone présente souvent une succession d’enroulements de sens opposés, dont le démêlage nécessite temps et patience. Pourquoi ce comportement agaçant, que l’on retrouve avec les bolducs ou les vrilles des plantes grimpantes ? Il résulte d’une minimisation de l’énergie élastique stockée dans le matériau du cordon, compte tenu de contraintes topologiques qui couplent la torsion du cordon et son enroulement.

Pour le comprendre, considérons d’abord le flambage, une instabilité mécanique élucidée auXVIIIe siècle par le savant suisse Leonhard Euler. Faisons une expérience bien connue des écoliers. Prenons une règle métallique plate, épaisse de 0,5 millimètre, large de 1,3 centimètre et longue de 30 centimètres. Tentons d’étirer ce réglet le long de son axe : rien de visible ne se passe ! L’acier étant très rigide, il faut une force de 130 newtons (soit le poids de 13 kilogrammes) pour allonger d’à peine 0,01 pour cent la règle.

Des règles qui flambent

Le flambage est une instabilité mécanique analysée par Euler au XVIIIe siècle. En comprimant dans sa longueur une règle métallique plate, elle reste droite si la force exercée est au dessous d’un certain seuil. Au delà, la règle se courbe brusquement.

Cherchons maintenant à comprimer le réglet dans sa longueur en le plaçant verticalement sur une table et en appuyant sur l’extrémité supérieure. Tant que la force appliquée reste faible, l’instrument reste droit, avec une longueur imperceptiblement réduite. Mais dès que la force excède une valeur seuil, le réglet se courbe brusquement. C’est le phénomène de flambage ou flambement, redouté des ingénieurs de la construction civile (voir la figure 1).

Que s’est-il passé ? Autant il est difficile de comprimer le réglet le long de son axe, autant il est facile de le fléchir en exerçant des forces latérales. Aussi arrive-t-il un moment où, même si les forces exercées sont dirigées selon l’axe du réglet, la moindre perturbation perpendiculaire conduit à une flexion : l’état comprimé est devenu instable. Par ce changement de forme, les contraintes internes de compression disparaissent au profit d’une courbure d’ensemble, énergétiquement plus avantageuse.

Euler avait résolu ce problème en 1744 et établi que la force seuil qui déclenche le flambement est proportionnelle au module de Young (paramètre qui caractérise la raideur du matériau) et inversement proportionnelle au carré de la longueur de la tige ; ce seuil est aussi d’autant plus faible que la dimension latérale de la tige est petite. Pour notre réglet, une force de trois newtons suffit à provoquer la flexion. Les structures de génie civil font ainsi intervenir des piliers creux, à section plutôt rectangulaire ou circulaire, avec de nombreux points de fixation latéraux, pour éviter la flexion des structures qui travaillent en compression.

De la flexion à la vrille

La déformation d’un ruban enroulé sur un cylindre assez gros est une flexion. Elle se transforme en torsion lorsque l’on enlève le cylindre et que l’on tire sur les deux extrémités du ruban. Le nombre de tours est conservé lors de cette opération.

Un phénomène de même nature se produit lorsqu’on cherche à tordre une tige ou un ruban. Ce sont alors les déformations de torsion et de flexion qui entrent en compétition. Commençons par éclaircir un point de topologie. Enroulons un ruban autour d’un cylindre dont le diamètre est grand devant la largeur du ruban, en veillant à ce que sa surface soit bien aplatie sur celle du cylindre, et réalisons un nombre entier de tours. La déformation ainsi réalisée est une flexion. Retirons ensuite le cylindre, saisissons chacune des extrémités du ruban et écartons-les afin d’allonger complètement le ruban, sans faire de boucles (voir la figure 2). On constate que le ruban est torsadé et que le nombre de tours de cette torsion est égal au nombre de tours de l’enroulement initial.

La possibilité de passer continûment d’une pure flexion à une pure torsion en conservant le nombre d’enroulements est une propriété mathématique – topologique – des rubans et des tiges souples. Nous en faisons l’expérience lorsque nous utilisons un tuyau d’arrosage enroulé au sol. Après l’avoir déroulé en tirant sur son extrémité, nous devons le détordre ; et lorsque nous devons le ranger en l’enroulant au sol, l’extrémité qui n’est pas encore enroulée se tortille au sol. C’est pourquoi, pour éviter de telles contorsions, les marins rangent leurs cordages en les étalant en forme de huit plutôt qu’en cercle : avec une boucle dans un sens et une boucle dans l’autre, la torsion totale est nulle.

La transition entre flexion et torsion résulte parfois d’une instabilité mécanique. Étirons fortement une tige de caoutchouc ou un élastique, tordons-la sur elle-même, puis relâchons doucement la traction. Si la torsion est faible, la tige restera rectiligne ; en revanche, à partir d’une valeur seuil, elle formera spontanément des boucles, par un phénomène de flambage. L’énergie élastique de torsion est alors troquée contre des enroulements et de l’énergie élastique de flexion.

Nous pouvons maintenant comprendre ce qui se passe avec les cordons de téléphone ou du bolduc lissé sur un ciseau. Ces objets sont naturellement courbés : sans sollicitation extérieure (donc sans torsion), ils adoptent une forme hélicoïdale. Déroulons un tel cordon jusqu’à le rendre rectiligne. Que se passe-t-il si on relâche la tension tout en maintenant les deux bouts du cordon ?

Une contrainte topologique s’impose : le nombre de tours d’enroulement du cordon doit être égal à la torsion initiale… qui est nulle. Pour satisfaire cette contrainte, le cordon pourrait s’enrouler en se tordant. Mais, du point de vue de l’énergie emmagasinée, il y a une meilleure solution. Il suffit qu’une partie du cordon s’enroule en tire-bouchon dans un sens et que l’autre partie s’enroule dans le sens opposé (voir la figure 3). L’enroulement total sera nul pour un coût énergétique faible, l’énergie élastique stockée dans le cordon se limitant à la zone de transition entre les deux hélices.

Un ruban initialement de forme hélicoïdale peut être tendu et redressé. Mais lorsqu’on relâche la tension en rapprochant les deux extrémités du ruban, celui-ci s’entortille en créant des enroulements hélicoïdaux de sens opposés. Cette inversion d’hélicité, nommée perversion, se retrouve dans les cordons de téléphone ou les vrilles végétales. (Dessin de Bruno Vacaro)

Un tel comportement se retrouve dans la nature. Charles Darwin l’avait observé dès 1864. Certaines tiges de plantes grimpantes forment des vrilles, qui s’enroulent spontanément autour des branches des plantes hôtes. Mais afin de passer d’une branche à l’autre, elles doivent pousser droit. Au contact d’une nouvelle branche, elles retrouvent une pousse naturelle et le pont rectiligne se transforme, comme par enchantement, en deux vrilles de sens contraires : une fois la jonction effectuée, la croissance de la tige devient plus rapide sur l’une de ses faces, ce qui a pour effet de courber la tige.

Pour finir, revenons à notre cordon de téléphone. Sa forme naturelle est un enroulement hélicoïdal de diamètre déterminé. Les manipulations successives du combiné finissent en général par tordre le cordon. Cette torsion est alors immédiatement convertie en enroulements et, pour conserver le diamètre optimal, c’est le nombre de spires tournant dans un sens ou dans l’autre qui va changer. La jonction entre les enroulements de sens opposés se déplace de façon que la différence des nombres de tours d’enroulement dans un sens et dans l’autre soit égale à la moitié des tours de torsion imposés au fil (un tour de torsion donne une augmentation d’un demi-enroulement dans un sens et une diminution d’un demi-enroulement dans l’autre sens).

Paru dans

Les perversions du cordon de téléphone J.M. Courty et E. Kierlik, Pour la Science N°379, (mai 2009)

 

Références

  • V. G. A. Goss et al., Experiments on snap buckling, hysteresis and loop formation in twisted rods, Experimental Mechanics, vol. 45, pp. 101-111, 2005.
  • T. McMillen et A. Goriely, Tendril perversion in intrinsically curved rods, Journal of Nonlinear Science, vol. 12, pp. 241-281, 2002.

1 commentaire

  1. Picard a dit :

    Pour enrouler au sol un tuyau, un câble électrique ou un cordage selon un beau cercle, l’astuce consiste, à chaque tour, de faire un quart de tour avec le poignet pour créer un flambage en sens inverse….

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