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Juil
19

La taille des cloches : un exemple de loi d’échelle.

Nous savons d’expérience que plus une cloche est grosse, plus le son est grave. L’analyse des données chiffrées sur la taille, le poids et la fréquence de cloches permet de déterminer les lois qui relient ces grandeurs et nous donne des informations sur la forme des cloches.

Un carillon est constitué d’un ensemble de cloches permettant de couvrir toutes les notes d’une gamme. (Dessin : Bruno Vacaro)

Pour aider les clients à adapter le choix des cloches à la taille et à la résistance mécanique du clocher ou elles seront installées, le fondeur de cloches Cornille Havard indique sur son site web la taille et la masse des cloches fabriquées en fonction de la note qu’elles délivrent (lien vers la page correspondante). Analysons ces chiffres avec les outils du physicien.

 La masse des cloches

Commençons par analyser comment varie la masse d’une cloche en fonction de son diamètre. Deux situations simples viennent à l’esprit :

  • L’épaisseur de métal est la même quelque soit la taille de la cloche. Dans ce cas, le volume étant proportionnel au produit de la surface par l’épaisseur, nous attendons une relation entre la masse m de la cloche et son diamètre d de la forme m=a d^2 où a est une constante multiplicative.
  • Les cloches sont toutes homothétiques (dans ce cas l’épaisseur est proportionnelle au diamètre) et alors  m=a d^3

Nous chercherons donc une relation de la forme d’une loi de puissance m=a d^\alpha
où \alpha est un exposant à déterminer. En pratique, il n’est pas aisé d’analyser graphiquement des lois de puissance, et il est bien plus simple d’étudier des relations linéaires. Pour cette raison, la recherche de lois d’échelles se fait usuellement en utilisant des échelles log-log. Autrement dit au lieu de chercher une relation entre la masse de la cloche et son diamètre, nous recherchons une relation entre les logarithmes de ces quantités. La relation attendue, en prenant le logarithme de la loi de puissance est alors \log m=\log a+\alpha\log d . La relation est linéaire et la pente de la droite donne la valeur de l’exposant cherché.

Si vous le souhaitez, à vous de jouer avec les données pour trouver l’exposant grâce au tableur en ligne qui suit. Sinon passez directement à la suite. Les données ont été intégrées dans un tableur : elles sont représentées sur deux graphes en vert. Le premier représente la masse en fonction du diametre de la cloche, le second, les logarithmes de ces quantités. Nous pouvons constater qu’en log-log, les données s’alignent sur une droite. En bleu, sont représentées les valeurs de la masse calculées à partir d’une loi de puissance dont l’exposant peut être changé à volonté. Pour cela, cliquez sur « click to edit » puis changez la valeur de l’exposant (qui a comme valeur initiale 2,2). En entrant une valeur et en tapant ensuite entrée, les valeurs sont recalculées et les nouvelles courbes tracées.

 

Pour un exposant égal à 3, les valeurs calculées s’ajustent quasi parfaitement aux données du fondeur. Nous en déduisons que les cloches sont homothétiques : l’épaisseur est proportionnelle au diamètre. La raison de cette relation est qu’il est très difficile de trouver la forme d’une cloche pour laquelle tous les modes propres sont multiples d’une même fréquence fondamentale. Ainsi, quand un fondeur a trouvé une forme qui donne un bon résultat pour une note, il est plus simple d’utiliser cette même forme pour toutes les cloches. Cela assure en outre une homogénéité du timbre.

Quelle taille ou quelle masse pour quelle note ?

Pour obtenir la relation entre la masse et la fréquence fondamentale de la cloche, nous allons procéder de même et recherchant une relation de la forme  f=a' d^\beta
où \beta est un nouvel exposant à déterminer.
Puisque plus la masse est petite, plus la note est aigue, cela signifie que l’exposant cherché dans la loi de puissance est négatif. Le graphe montre qu’il est alors encore plus difficile d’ajuster l’exposant. L’interet du diagramme log-log n’en est que plus grand.

Si vous le souhaitez, à vous de jouer avec les données en cherchant l’exposant avec le tableur.

Le meilleur ajustement est obtenu avec un exposant de -0,31. C’est très proche de -1/3 , autrement dit la fréquence est inversement proportionnelle à la racine cubique de la masse de la cloche. (ou aussi la masse inversement proportionnelle au cube de la fréquence. Et comme cette masse est proportionnelle au cube du diamètre, cela signifie que que la fréquence est inversement proportionnelle au diamètre de la cloche : f\varpropto\frac{1}{d}

Peut on comprendre l’origine de cette relation ? Le calcul des modes de vibration d’un solide est délicat, surtout quand la forme n’est pas géométriquement simple. On peut toutefois essayer de comparer ce résultat à ce que dit la théorie pour des systèmes plus simple. Pour un cylindre creux, la fréquence du mode fondamentale est proportionnelle au rapport de l’épaisseur  e sur le carré du diametre d f\varpropto\frac{e}{d^2}. Si nous  considérons des cylindres homothétiques comme le sont les cloches, l’épaisseur est proportionnelle au diamètre et donc la fréquence inversement proportionnelle au diamètre f\varpropto\frac{1}{d}. Cela correspond à la relation que nous avons trouvé expérimentalement pour les cloches.

Réaliser un carillon

Dans la gamme chromatique (par demi ton), les fréquences des notes sont en progression géométrique. L’intervalle d’une octave correspond à un facteur 2. Si l’on souhaite réaliser un carillon qui couvre 3 octaves, la fréquence de la note la plus aigue sera donc 8 fois plus grande que la plus grave. La cloche la plus grave sera ainsi 512 fois plus lourde que la plus légère.

En observant les données de plus près, nous pouvons constater que les lois de puissance ne sont pas parfaitement vérifiée pour les petites cloches. Celles ci sont plus lourdes que ce qu’indique le calcul. La raison en est qu’il est difficile de trop réduire l’épaisseur des cloches. Les cloches aiguës ne sont donc pas parfaitement homothétiques de graves.

Conclusion

Cet exemple des cloches, montre qu’aujourd’hui, les moyens  informatiques disponibles pour tous permettent à chacun de réaliser facilement des études il y a encore peu réservées aux professionnels.

  • Tout d’abord, de très nombreuses données sont maintenant librement accessibles. Les sites professionnels tels celui de ce fabricant de cloches sont une mine pour le physicien. Il reste une difficulté :  maitriser suffisamment les outils de recherche pour trouver ces données, et, lorsque l’on a des données sous la main, de se rendre compte de ce que l’on peut faire avec.
  • Ensuite, avec un outil aussi simple et répandu qu’un tableur, il est déjà possible de réaliser des études intéressantes. Pour une première approche, ces outils sont même à mon avis préférables à des outils plus sophistiqués d’ajustement de courbes.  Ils permettent de se familiariser avec les données , de « sentir » les relations à partir des graphes et d’ajuster « à vue » en jugeant de la qualité des données et des points pertinents ou aberrants.
  • Enfin, le web permet de rediffuser les analyse sous une forme permettant à chacun d’expérimenter par soi même et de réutiliser les outils diffusés.

Pour en savoir plus sur les cloches

 

Sonner comme une cloche

 

Sonner comme une cloche  J.M. Courty et E. Kierlik, Pour la Science N°402, (Avril 2011)

 

3 commentaires

  1. Ethaniel a dit :

    Il me semble que 16³=4096, et non 512 😉 !

    1. jmcourty a dit :

      Tout à fait. Merci de la remarque. L’erreur est corrigée dans le texte. Il s’agit en fait de 3 octaves et d’un facteur 8 sur la taille

  2. Paccard a dit :

    Très bonne présentation.
    Il ne manque que la loi des fréquences
    FxØ=Constante pour un profil donné, appellé bord musical
    Fn+1=Fn x 2^1/12 La3=440 La#2=440 x 1,059 (2^1/12= 1,059)

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