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Mai
01

Le paradoxe de l’archer : quand la flèche fait du slalom

Comme le montre le ralenti sur lequel se termine la nouvelle bande annonce du film « Brave », une fleche qui quitte l’arc se plie et évite le manche en slalomant. Dans ce film d’animation, dont la sortie est prévu l’été prochain, le ralenti de ce phénomène est remarquable de réalisme. L’animation est parfaitement fidèle à ce que nous montrent les prises de vue en caméra ultrarapide. Quelle est l’origine de ce phénomène et comment malgré cela la flèche atteint-elle le centre de la cible ?

A gauche la bande annonce, à droite, un ralenti réalisé à l’aide d’une caméra ultrarapide.

Observons la décoche d’une flèche dans un arc droit. Tout d’abord, la flèche repose contre le manche de l’arc et, de ce fait, pointe légèrement vers le côté. La force exercée par la corde n’étant pas dirigée dans l’axe de la flèche, elle fait pivoter le projectile autour d’un axe vertical. De plus, lorsque l’archer lâche la corde, celle-ci glisse légèrement sur les doigts et acquiert une vitesse transverse. Enfin, la partie arrière de la flèche est plus large que son corps à cause de la présence de plumes (l’empennage). Or en dépit de tous ces phénomènes, la flèche atteint bien un point situé dans le plan de l’arc !

Ce « paradoxe de l’archer » a été élucidé dans les années 1930-1940 par le physicien américain Paul Klopsteg. Avec une caméra ultrarapide, il a constaté que lors de la décoche, la flèche se tord et vibre en progressant : elle semble serpenter autour du manche de l’arc. Comment expliquer cette contorsion ? La petite embardée de la corde, due aux doigts qui la lâchent, communique à l’extrémité arrière de la flèche une accélération latérale de plusieurs centaines de fois l’accélération de la pesanteur. Le fût de la flèche fléchît, car l’inertie empêche que ce déplacement latéral soit ressenti instantanément à la pointe qui, elle, subit une force provenant du manche. Comme une lame de vibraphone frappée à l’une de ses extrémités, la flèche se met à vibrer dans un plan horizontal.

Lors de la décoche, la flèche se plie et oscille. Cela permet à l'empennage d'éviter le manche

Si la progression de la flèche et les contorsions de celle-ci sont synchrones, le corps de la flèche ne vient pas au contact du manche (voir la figure). Lorsque le milieu de la flèche arrive au niveau du manche, les deux extrémités du projectile sont dans le plan de l’arc tandis que le milieu de la flèche en est écarté (voir la figure c). Quand la flèche quitte l’arc, elle est incurvée dans l’autre sens (voir la figure d). En raison de ces oscillations, la trajectoire de la flèche est initialement sinueuse, mais les vibrations s’atténuent à cause des frottements avec l’air : la flèche suit bien la direction visée. En outre, la legere inclinaison des pennes de l’empennage provoque une rotation de la fleche le long de son axe, ce qui stabilise la trajectoire.

Les deux video qui suivent permettent d’observer le phénomène de face

Ces deux vidéo sont prises de trois quart arrière.

Pour minimiser ces effets perturbateurs, P. Klopsteg a conçu dès 1930 l’ancêtre des arcs actuels. Grâce à un manche présentant un décrochement en son milieu, la flèche se trouve dans le plan de l’arc. De plus, afin d’éviter un contact latéral trop appuyé, la flèche repose contre un petit bouton monté sur ressort. En contrôlant la raideur de celui-ci à l’aide d’une vis, l’archer règle l’amplitude des vibrations de la flèche.

Par ailleurs, il faut choisir les flèches de façon que l’empennage ne frotte pas contre le manche. Il est essentiel pour cela que le temps mis par la queue de la flèche pour atteindre le manche soit de l’ordre de 1,5 fois la période de vibration de la flèche. L’écartement entre l’empennage et le manche est alors proche du maximum. A priori,  la période de vibration dépend de la masse et de la rigidité de la flèche. Toutefois, la masse n’intervient pas dans l’ajustement entre cette période et le temps mis par la flèche pour dépasser le manche : les calculs montrent qu’une flèche plus lourde oscille moins vite qu’une flèche légère, mais ils montrent aussi que sa vitesse de sortie est réduite dans les mêmes proportions. Afin de savoir si la flèche est adaptée à l’arc, il suffit donc de déterminer sa rigidité. Pour ce faire, la flèche étant horizontale, on suspend un poids à une de ses extrémités en maintenant l’autre fixée, puis on mesure le fléchissement. Si la rigidité est inappropriée, il n’y aura plus qu’à changer de matériau… ou d’arc !

A la lumière de ces explications, regardons une nouvelle fois la fin de la bande annonce. Tout est là : la flexion de la fleche, parfaitement synchronisée avec sa progression de sorte que les plumes évitent le manche. Puis la mise en rotation progressive de la fleche.

Comme le mentionne un article récent de Wired, (New Brave Trailer Nails the Archery) les réalisateurs de cette séquences se sont parfaitement documentés sur tous les aspects du tir à l’arc. Non seulement de la physique (comme nous venons de le voir) mais aussi de tous les aspects techniques : chacun des premiers archers a un défaut technique typique de débutant ou d’autodidacte, tire avec ce défaut de manière particulièrement réaliste et ce défaut provoque les effets attendus sur la trajectoire de la fleche. L’héroine Merida a en revanche une technique parfaite, de la la position de la main droite qui tient la corde, appliquée contre la joue, et qui n’en bouge pas lors de la décoche, à celle de la main gauche, qui est ouverte lorsque Merida bande son arc, en poussant uniquement avec la paume,  et ne se referme que juste avant la décoche.

 

Pour en savoir plus  :

* Suivez la flèche , J.M. Courty et E. Kierlik, Pour la Science N° 323, (septembre 2004)

* L’arc, merveille technique , J.M. Courty et E. Kierlik, Pour la Science N° 322, (août 2004)

Ces deux articles sont aussi publiés dans le recueil « Le monde a ses raisons« 

POUR SOULEVER une maison de 50 tonnes, il faudrait au moins 110 000 ballons d’hélium de un mètre de diamètre. Dans le film Là-haut des studios Pixar, il n’y a pas assez de ballons et ils sont trop petits... (Dessin : Bruno Vacaro)

Vivent les films de Pixar, qui tout en étant réjouissants à regarder nous permettent d’observer les lois de la physique en action. Il y a quelque temps, c’est « La haut » qui nous avait inspiré la chronique « Voler avec des ballons de baudruche ».

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